P ±Ê. Š - ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ. ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ.

P-22-86.. ±Ê Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ ˆ Œ ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ E-mail: dnd@jinr.ru

±Ê.. P-22-86 ŠÊ μî μ- μ² μ³ ²Ó Ö μ± ³ Í Ö Ï Éμ μ μ Ö ± Éμ³ É Î ± ³ μ Ê ³ Ê ²μ ŠμÔËË Í ÉÒ ³μ ² ²μ± ²Ó μ μ ³ É ²Ö ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í Ï Éμ μ μ Ö ± μ ²ÖÕÉ Ö μ Î Ö³ ËÊ ±Í - μ μ μ μ É Ì Ê ² Ì μ É ²Ö. ³± Ì μ ²μ μ μ ³ - Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ±μôëë Í Éμ ²μ ËÊ ±Í μ É Ö³ (x x ) É ÌÉμÎ Î μ ɱ. μé ² μ ɳ - Éμ³ É Î ±μ μ μ Ê Ö Ê ²μ. ² Ò Î ÉÒ μ É ÉμÎ μ É Ê ÒÌ É É Ì μ± ² Ò μ±êõ ÔËË ±É μ ÉÓ ³μ ² ² Ê Éμ Î μ É ÒÎ ² -, ÉμÎ μ É ² ±μ É μ± ³ Í. μé Ò μ² μ Éμ Ëμ ³ Í μ ÒÌ É Ì μ²μ ˆŸˆ. É Ñ μ μ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ. Ê, 22 Dikusar N. D. P-22-86 Piecewise Polynomial Approximation of the Sixth Order with Automatic Knots Detection Coefˇcients of a local segment model for piecewise polynomial approximation of the sixth order are evaluated using values of the function and of its ˇrst derivative at three knots of the support. Formulae for coefˇcients of the function expansion in degrees of (x x ) on a three-point grid are obtained within the framework of the recently proposed basic element method. An algorithm for automatic knot detection is developed. Numerical calculations applying quite complicated tests have shown high efˇciency of the model with respect to the calculation stability, accuracy and smoothness of approximation. The investigation has been performed at the Laboratory of Information Technologies, JINR. Preprint of the Joint Institute for Nuclear Research. Dubna, 22

ˆ μ Ó³ Î Éμ Ò É μ, ÎÉμ Ò μ- Ï μ ÉÓ μ ² Ó ± Ê²Õ ²Ö ²μ μ³ Êɱ... ÒÏ [] ³ É ³ É ± ±² ÒÌ Ê± Ì ²μ ÊÕ ËÊ ±Í μ ²Ó ÊÕ - ³μ ÉÓ, ÊÕ Ëμ ³Ê²μ ² ± É Ò³ μ μ³ ÉμÎ ±, ² ÕÉ μ- ² μ³ ³ μ²óïμ É Î Éμ ²μ± ²Ó ÒÌ ³ Éμ. ÒÎ μ ²Ö ÔÉμ μ μ²ó ÊÕÉ ±Ê Î ± ² Ò, ² ±Ê μî μ-±ê Î ±ÊÕ μ± ³ - Í Õ [2Ä6]. μ ÒÏ ÔËË ±É μ É ³ Éμ μ ² μ ɳμ μ± ³ Í ²μ ÒÌ ËÊ ±Í ² Ö Ô± ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ ±ÉÊ ²Ó μ - ² Î ÒÌ μ ² ÉÖÌ ÊÎ ÒÌ ² μ. ËË ±É μ ÉÓ ³ Éμ μ ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í (Š) É μé É ³ μ μî² μ, μ± ³ ÊÕÐ Ì ³ ÉÒ, μé - Ò μ É μ Ö ± ² ±μ É Ê ² Ì μ É ³ ²Ó μ μ Ö μ ² É Ö ËÊ ±Í. ƒ² ±μ ÉÓ Ö ± Î É μ³ μ± ³ Í μ Î - É Ö ² -³ Éμ ³, Ò μ Î ² Ê ²μ Ì μ²μ Ö Ö ²Ö É Ö É ²Ó μ Î, ±μéμ μ Ð É Ö ±μ³ μ³ ³ Ê ÉμÎ μ ÉÓÕ ² Ö ² μ μ³ Êɱ ( μ É ²Ö) μ± ³ Í. Ð Ö ÔË- Ë ±É μ ÉÓ Š É μé Ò μ Ëμ ³Ò μ² μ³ ²Ó μ ³μ ². Éμα Ö ÉμÎ μ É ÒÎ ² μ²ó μ Ò μ± Ì É μ² Ò μ μ, ÌμÉÖ ÒÎ ² É ²Ó Ö ²μ μ ÉÓ ÔÉμ³ μ É É [6]. ÊÐ É ÊÕÉ ² Î Ò Ëμ ³Ò É ² Ö ³ μ μî² μ, ±μôëë Í - ÉÒ ±μéμ ÒÌ μ ²ÖÕÉ Ö μ- μ³ê. ³, ²Ö ²μ± ²Ó μ μ± - ³ Í f(x) C (n) μ² Î Éμ μ²ó ÊÕÉ ³ μ μî² ²μ T n (x x ) ±μôëë Í É ³ f (i) (x )/i!, i =,n, ±μéμ Ò Ö ²Ö É Ö ³ μ μî² μ³ - ²ÊÎÏ μ ² Ö ³ ²μ μ± É μ É μ μ Éμα x = x. É μ²ö- Í μ ÒÌ Ëμ ³Ê² Ì, ÓÕÉμ, ƒ Ê, ³ É. ±μôëë Í ÉÒ Ò ² ÖÉ μé f (i) = f (i) (x ). ²ÊÎ ± É Î μ μ± - ³ Í ÒÌ μï ± ³ μ²ó ÊÕÉ ³ Éμ ³ ÓÏ Ì ± Éμ (ŒŠ).

μ μé ² É Ö ³ Éμ Š Ï Éμ μ μ Ö ±, μ μ Ò ³ μ μî² Ì ÖÉμ É, É ² ÒÌ Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ - Éμ (Œ) [7, 8]. ³ Œ ÖÉμ É Î Ì Š μ É Ò μ Ê ± ± μ ÉμÎ μ É μí μ±, É ± μ ² ²μ± ²Ó ÒÌ μ É ². [8] μ± Ò ³ÊÐ É μ²ó μ Ö Œ Ï Î μ± - ³ Í ËÊ ±Í ² Ö ÒÌ ² μ ÒÏ Ö Ê Éμ Î μ É ÒÎ ² μ Ö ÒÎ ² É ²Ó μ ²μ μ É. Œ É ² É ÉÓ ² É Ö Ï É ² Ì.. É ² ±μ É Ê±Í Ö ³ μ μî² μ Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ Éμ Ò Ëμ - ³Ê²Ò Œ-±μÔËË Í Éμ ÖÉμ É.. 2 ³± Ì ²μ± ²Ó μ Œ- μ± ³ Í É ÌÉμÎ Î μ ɱ μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ±μôë- Ë Í Éμ ²μ f(x) μ É Ö³ (x x ).. 3 μ ÖÐ Î Œ-Ô± É μ²öí,. 4 μ É Ö ² μ ɳ É ±Éμ Ê ²μ. Œ- μ± ³ Í Ö ² Ö Ï Éμ μ μ Ö ± μ Ê ÕÉ Ö. 5 6 μμé É É μ.. Œ μé [8] μ± É μ ³ μ É ² ³ μ μî² P n (x) = a + a x +...+ a n x n Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ Éμ (μ μ ±Ê Î ±μ É Ì ± É Î ÒÌ μ²), μ É μ ÒÌ É ÌÉμÎ Î μ ɱ x α <x <x β : f(x) P n k (Q, w, r) = k Q i w T r i = i= k b T i r i, k = n/3, () Q w =[w,w 2,w 3 ] T Å Ò Ô² ³ ÉÒ, b i = Q i w T, r i =[r αi, r βi, r i ] T Å ±μôëë Í ÉÒ. n =5³μ ²Ó ²μ± ²Ó μ μ ³ É S(x) f(x), x [x α x β ] [a, b], ³ É S(x) w T f + b T r = f α w + f β w 2 + f w 3 + r α b + r β b 2 + r b 3, (2) i= w 2 = τ(τ β) Q = τ(τ α)(τ β), w =, αγ τ(τ α) (τ α)(τ β) 3, w 3 = ; w j =, βγ αβ j= (3) τ = x x, α = x α x, β = x β x, γ = β α, x, α, β R, αβγ. 2

ŠμÔËË Í ÉÒ f =[f α,f β,f ] T r =[r α,r β,r ] T μí μ Ò Ê ² ³ ɱ x α <x <x β, ³ É Ò α β μ Î Ò μ μ²õé μ - ² Î ËÊ ±Í μ ²Ó μ Ö Ò ³μ ³ μ x Ò³ Ô² ³ É ³ w j Q. Š É Î Ö μ É ²ÖÕÐ Ö w T f (2) μ ²Ö É Ö ±μôëë Í É ³ f ν = f(x ν ), ν = α, β,. ŠμÔËË Í ÉÒ r ν É Ï Ì É ÖÌ x μ ²ÖÕÉ Ö [8] r ν = c ν f ν + kt ν f, ν = α, β,, (4) k α =[(γ α)/(α 2 γ 2 ), /(γ 2 β), /(βα 2 )] T, k β =[/(αγ 2 ), (β + γ)/(γ 2 β 2 ), /(β 2 α)] T, (5) k =[ /(α 2 γ), /(γβ 2 ), (α + β)/(β 2 α 2 )] T, c α = /(αγ), c β =/(γβ), c =/(βα), γ = β α; j =, 2, 3. α = β = h =constôé Ëμ ³Ê²Ò Ê μð ÕÉ Ö: r h = f h 2h 2 + 3f h + f h 4f 4h 3, r h = f h 2h 2 f h +3f h 4f 4h 3, (6) r = f h 2 f h f 2h 3. μ ³Ê²Ò (2)Ä(6) μ μ²öõé ² ±μ É ±μôëë Í ÉÒ ³ μ μî² ²μ- f(x) μ É Ö³ (x x ),±μ x ³ Ö É Ö μ³ Êɱ [x + α, x + β], α<β,αβ<. 2. Œ-Š ˆŒ ˆŸ Š ˆ É μ, ÎÉμ μ²óïμ μ± É μ É Éμα x ³ μ μî² ²μ ±μôëë Í É ³ f (i) (x )/i!, i =,5, É ²ÊÎÏ ² ± f(x). ³ Éμ ³μ μ Ë 853. μ Ö ³ Ì ³μ, É ÒÌ μ - ³ ²² ²μ ³³μ [].. ÒÏ ³ É ², ÎÉμ ³ ²μ³, Ë ± μ μ³ É ² [x h, x + h] μ² μ³ ²μ ² Ê É ³ - ÉÓ Ê ³ μ² μ³μ³. ±μ μ² μ³ ÒÏ Ï ² ± ± Ï Î ² ÊÕÐ Ëμ ³Ê² μ ± : ² ÉÓ ³ Ö, ±μéμ Ò μ μ - É ² μ³ Ò ËÊ ±Í f(x), μ³ ²μ ³ μ É Ö³ (x x ), ² É Ê É Ö ² ÉÓ ³ ÓÏ ³ ² μ μ- Ï μ É ³ Ê x = x h x = x + h, h Å ² Î μî Ó 3

Î É ²Ó Ö. É ³ μ² μ³μ³ É ² Ï μ±μ É Ò μ² μ³ ²ÊÎ- Ï μ ² Ö ÒÏ. μ μ³μðóõ Ò² μ²êî Ò μ ± ± ±μôëë Í É ³ μ² μ³ ²μ. μ³ É Î ±μ Éμα Ö ±μôëë Í ÉÒ f r (), (2), ± ± ±μôëë Í ÉÒ ³ μ μî² ²μ, μ² ÕÉ Ö É ± ²ÖÌ x = x ν, ν = α,,β (., ). ³ Q Ëμ ³Ê² (2) μ Ò ³ x-±μμ É Ì Q {}}{ S(x) w T f + (x x α )(x x )(x x β ) w T r (7) Ö Î ÉÓ (7) ²μ Î Ëμ ³ ³ μ μî² ²μ ²Ö μ± É μ É ÉμÎ ± x α, x, x β. ³μÉ ³ Ëμ ³Ê²Ê (2) Éμα Ö μ ² Ö ³ ±μ- ÔËË Í É Ì ³ μ μî² ²μ, ² f(x) μ± ³ μ ÉÓ Œ ÖÉμ É (2)Ä(5). É ²Ö É É ² ÊÕÐ Ö Î. ˆ μ²ó ÊÖ Ëμ ³Ê²Ò (2)Ä(5), ²Ö ÒÌ α, β, f =[f α,f β,f ] T r =[r α,r β,r ] T É ±μôëë Í ÉÒ d i ³ μ μî² f(x) 5 d i (x x ) i ʲ Ò³ μ Ï μ ÉÖ³ Ê ² Ì É± x α <x <x β,±μ x ³ Ö É Ö ² Ì μé x = x + α μ x = x + β,α < β, αβ <. Ï Î É μ ³. ŠμÔËË Í ÉÒ d i ³ μ μî² ÖÉμ É, É ²ÖÕ- Ð μ f(x) ²μ ³ μ É Ö³ (x x ) μé ± [x + α, x + β], α<β, αβ <, 5 f(x) d i (x x ) i (8) i= Ò ÕÉ Ö ² ÊÕÐ ³ Ëμ ³Ê² ³ : d 5 =[αr β + γr βr α ]/(αβγ), d 4 =[αβ(r α r β ) 2γ(α + β)r +2(β 2 r α α 2 r β )]/(αβγ), i= d 3 =[2αβ(αr β βr α )+α 3 r β + γ(α 2 + β 2 )r β 3 r α ]/(αβγ)+4r, d 2 =[αf β + γf βf α ]/(αβγ)+[β 2 r α α 2 r β ]/γ 2(α + β)r, d =[β 2 f α γ(α + β)f α 2 f β ]/(αβγ)+αβr, d = f, (9) f ν = f(x ν ), γ = β α, r ν ÒÎ ²ÖÕÉ Ö μ Ëμ ³Ê² ³ (4), (5), ν = α, β,. 4

μ± É ²Ó É μ. μ ³Ê²Ò (9) ÒÉ ± ÕÉ É ÒÌ Î É Ê - (7) (8). μ²êî ÕÉ Ö ÊÎ Éμ³ (3)Ä(5) μ ² w T f, Qw T r ±μμ É μ Ëμ ³ Ê μ ± ³ μ É ² μμé É É ÊÕÐ Ì É - ÖÌ (x x ). ² É. α = h β = kh, h >, k =, 2,..., (9) μ²êî ³ d = f, d = f, ±μôëë Í ÉÒ d 2,...,d 5 ±Éμ μ Ëμ ³ d i (k, h ; f h, f h )= h 5 u T i f h + h 4 vi T f h, i = 2, 5, k =, 2,..., (9a) f h =[f h,f kh,f ] f h =[f h, f kh,f ], u i v i ÖÉ μé k =, 2,...: u 2 = u 3 = [ k 2 ] (3k +5) (k +) 3, 5k +3 k 2 (k +) 3, 3k2 +4k 3 k 2, [ 2k(k 2 k 5) (k +) 3, 2(5k2 + k ) k 3 (k +) 3, 2(k3 4k 2 ] +4k ) k 3, [ 4k 2 ] +5k 5 u 4 = (k +) 3, 5k2 5k 4 k 3 (k +) 3, 4k2 7k +4 k 3, [ ] 2(k +2) 2(2k +) 2(k ) u 5 =, (k +) 3 k 3, (k +) 3 k 3 ; [ k 2 ] v 2 = (k +) 2, 2(k ),, k(k +) 2 k v 3 = [ ] k(k 2) (k +) 2, 2k k 2 (k +) 2, k2 4k + k 2, [ (2k ) v 4 = [ v 5 = (k +) 2, (k 2) 2(k ) k 2, (k +) 2 k 2 (k +) 2, k 2 (k +) 2, k 2 ]. ² Ê É μ Î ± ÊÉÓ, ÎÉμ É Ó ³ É ² ±μμ É Ì u i v i ³ ÓÏ É Î ² É ², ÎÉμ ʱ Ò É Ê Éμ Î μ ÉÓ ± μï ± ³ f f μ É k. ³ Î. ² Î h, ² Î Ö ³ É μ α β, μ Ð ³ ²ÊÎ μ ²ÖÕÉ Ö μ²μ ³ Éμα x μé ± [x + α, x + β], ² ³μ μ μé ± É μé ²μ μ É f(x) μ μ ÒÌ. ], 5

²ÊÎ μ³ μ ɱ (h = h, k =)Ëμ ³Ê²Ò d 2,...,d 5 (9a) Ê μð ÕÉ Ö: d 5 =[3(f h f h )+h(f h +4f + f h)]/(4h 5 ), d 4 =[2( f h +2f f h ) h(f h f h )]/(4h4 ), d 3 =[5(f h f h )+h(f h +8f + f h )]/(4h3 ), () d 2 =[4(f h 2f + f h )+h(f h f h)]/(4h 2 ), d = f, d = f, É.. ±μôëë Í ÉÒ d i, i =, 5, ÖÉ μé h Î f, f É ÌÊ ² Ì x h, x, x + h. ² É 2. μ μé³ É ÉÓ, ÎÉμ μï ± ε D (x) = f(x) D 5 (x x ) ε T (x) = f(x) T 5 (x x ) ÊÉ Ö μ- μ³ê. ² x ε T (x) <ε D (x),, Î Ö h,7, ε T (x + h) ε D (x + h), Éμ ± ± lim ε D(x) =, x x +ν ν = h,,h, μé±ê ² Ê É max ε D (x) < max ε T (x), x [x h, x + h]. ³. ³μÉ ³ ËÊ ±Í Õ f(x) =exp[ 5(x ) 2 ], x [ 2, 2]. ²Ö x =, x h =,5, x h =,5, f =[,2865,,2865, ] T f =[,4325,,4325, ] T ³ d i μ Ëμ ³Ê² ³ (). ƒ Ë ± T 5 (x x ), D 5 (x x ) μï μ± ε T = f T 5, ε D = f D 5 μ± Ò.,. Ë ±, μ ²μ ˳ Î ±μ³ ³ ÏÉ, Ò.,. μ, ÎÉμ ε T ε D ²Ö x mh, m,7. ² Éμα x + h =,5 μï ± ε T ±μ²ó±μ μ Ö ±μ μ²óï ε D. fx () f J а f r f r r w w 3 w2 Q,5 D h T x 5 () T D5 () x fx (),5 2 б x 2 3 4 5 в T D h,7h x,5 2.. Šμ É Ê±Í Ö Œ ÖÉμ É ( ). ƒ Ë ± f(x), T 5(x), D 5(x) ( ) μï μ± ε T, ε D ( ) 6

3. Œ-Š Ÿ ˆŸ Œ Éμ Ò ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í Éμ ² μ É - Ö Ò Î Ô± É μ²öí. ²ÊÎ Œ μ Ò³ Î Ö³ f α (i),f (i), i =,, ³μ μ μí ÉÓ f β f Éμα x = x β + β. ³μÉ ³ ±μ É Ê±Í Õ Œ (., ). μ³ É Î ±μ Éμα Ö É Ó Œ μ ²Ö É Ö ³ Ò³ μ²μ ³ ÉμÎ ± (x ν,r ν ), ν = α, β,, ±μμ É μ ²μ ±μ É [7, 8]. ³, μ²μ r ν ±²μ μ Ö³μ ² ± É Î μ - μ² μμé É É Ê É ³ μ μî² ³ Î É Éμ ² ÖÉμ É, ʱÊ- Î ±μ μ ³ μ μî² r ν ² É μ μ É ²Ó μ Ö³μ. Œ É ÉÓ É μ ²ÖÉ Ö ±μôëë Í É ³ f θ, É.. f(x) w T f + θq. ˆ É r α = r r α = r β ÊÎ Éμ³ (4) (5) μ²êî ³ ˆf β =[(α +2β)γ 2 f +(α 2γ)β 2 f α + αβγ(βf α + γf )]/α3, ˆf β =[(2α + β)γ 2 f (α + γ)β 2 f α +(β +2γ)α 2 f β ]/(α 2 βγ)+γf /α. () α = h β = kh, k =2, 3,..., Ëμ ³Ê²Ò () ³ ÕÉ ˆf kh =[k(k +)(kf h +(k +)f )]h (k +) 2 (2k )f + k 2 (2k +3)f h, ˆf kh =[(3k +2)ˆf kh +(k 2)(k +) 2 f k 3 f h ]/ (2) (k(k +)h) (k +)f. ²Ö k =( ²ÊÎ μ³ μ ɱ ) Ëμ ³Ê²Ò (2) Ê μð ÕÉ Ö: ˆf h =2h(f h +2f )+5f h 4f, ˆf h =5f h +8f + 2(f h f )/h. (3) ³ 2.. 2, μ± Ë ± ±Ê Î ±μ Ô± É μ²öí ²Ö ËÊ ±Í f(x) =sinx +cos7x μé ± μé x =,85 μ x =,5. Î Ö ˆf β ˆf β μ²êî Ò μ (2) ²Ö h =, k =, 2. ƒ Ë ± μï μ±,5,5,5 f, f fx () f а,5,5 2 4 6 8 kh 5 5 б 2 4 6 8 kh 5 5. 2. ŠÊ Î ± Ö Œ-Ô± É μ²öí Ö ( ). ƒ Ë ± ε kh (kh) ( ) ε kh(kh) ( ²Ö Ö Ê ±É μ³ μ± Ò Ë ± ²Ö h i,i=, 2, 3) ( ) h h 3 h 2 в 7

ε kh = f kh ˆf f kh ε kh = kh ˆf kh μ± Ò μ μ³ ²μ ˳ Î ±μ³ ³ ÏÉ. 2,. μ, ÎÉμ ε kh O(h 3 ) ²Ö x [x,x +h] ε kh O(h 2 ) ²Ö x [x +h, x + h] (. 2, ). 4. Š É μ É Î ±μ³ ² μ É ³ ²Ó Ö É μ ± Ê ²μ Ö ²Ö É Ö Ó³ É Ê μ Î. ²ÊÎ Œ-³μ ² ÐÊÉ Ö ÍÒ μé ± [ x h, x + h], ±μéμ μ³ ³ É S ± μ f ² É Ö ³ μ μî² μ³ D 5 (x x ; d), d Å ±μôëë Í ÉÒ. μî μ ÉÓ μ Ö μ± ² ±μ É ÊÐ - É μ ÖÉ μé Ï h. μí Ê μ ± μ ÍÒ x + h ³ É S(x) f(x) ± Î É ± É Ö μ²ó Ê É Ö ² lim ε D(x) =, ±μéμ Ò Ö Ê x x +h Ëμ ³Ê² ³ (9 ) μ Ê É Ö μ ² μ ɳ É ±Éμ Ê ²μ, ÊÉÓ ±μéμ μ μ μ Éμ É ² ÊÕÐ ³. ³ ± μ Ö ± μ f ³ ²± ³ Ï μ³ h h ² μ ɳ Ìμ É ³ É Ò x h. Î Ö f(x + kh ) f (x + kh ) ÒÎ - ²ÖÕÉ Ö μ ² μ É ²Ó μ É ²μ ÒÌ É ²μ [x h,x + h ] [x h,x +2h ]... [x h,x + kh ] Ë ± μ ÒÌ x h. μ ² ÔÉμ μ ɱ x h <x <x + h k μ (8), (9 ) ÒÎ ²ÖÕÉ Ö D 5 (h k ; d k ), h k = kh, k =, 2,... k>2 μ μ ÉÖ³ Δ k = D 5 (h k ; d k ) D 5 (h k ; d k ) Δ k 2 = D 5 (h k ; d k ) D 5 (h k 2 ; d k 2 ) μ ²ÖÕÉ Ö λ k =Δ k /Δ k 2. μ± h k < x + h, Δ k Δ k 2, μ ±μ Ìμ Î ÉμÎ±Ê x + h, ÊÎ Éμ³ lim ε D (x) =, Δ k 2 Δ k, ʲÓÉ É Î μ μ Ìμ É ± Îμ± x x +h k λ k = λ ( Ìμ Î ÉμαÊ, ε D =). λ T λ (T λ Å Ò μ μ ), Ìμ É Ö ² É ² H = h + h k. μ Î Ö³ h = H/2, x = x h + h Ëμ ³Ê² ³ () ɱ x h< x < x + h μ ²Ö É Ö ³ É S(x; x,h)=d 5 (x x ; d), d = d(h, f h, f h ). h μ μ T λ Ö ²ÖÕÉ Ö ³ É ³ É μ ± É ±Éμ ÖÉ μé Ê μ Ö ²μ μ É μ± ³ Ê ³μ ± μ. ³ 3. É ±Éμ ³ É ³ x =,7, h =,24, T λ =,65 É Éμ μ Éμαμ x h =,6976 ± μ f(x) =exp( 35(x ) 2 ) μ Ê ² Ê ² x + h =,96, h =,56, x =,8536. ƒ Ë ± λ k, d jk,j = 2, 5 ± Îμ± k = 29 μ± Ò. 3,.. 3, Å Ë ± f(x), D 5 (x x ), D 5 (h k ) μï μ± ÖÉ ± É μ³ ³ ÏÉ. ŠμÔËË Í ÉÒ D 5 (x x ) f(x), x [,825,,95], Î É - Ò μ Ëμ ³Ê² ³ (), μμé É É μ Ò d =,472294, d =4,8469, d 2 =6,273996, d 3 = 84,96345, d 4 = 79,3555, d 5 = 492,7699. Œ ± - ³ ²Ó Ö μï ± ε max = max f(x) D 5(x x ) μ É ²,8%. x [ x h, x +h] 8

d 6 3 2 d 5 4 d 2 2 d 4 d 5 n T k Узел n 5 5 k a,5 fx ( ) D 5 h fk D5 ( hk ) fd 5 x,5 xh x x h,5. 3. Ê μ μ Ê ² ± μ f(x) Ë ± ±μôëë Í Éμ d k ( ). ƒ Ë ± f(x), D 5(h k ) f(x +h k ) (Éμα ), [D 5(x x )], 5x[f k D 5(h k )] 5x[f(x) D 5(x x )] ( ) ³ Î 2. μ²ó μ É ±Éμ Ê ²μ Î ²μ ³ Éμ N S - É μ. N S μ ²Ö É Ö μ É μ ÍÒ μ ² É Ö f(x), ÎÉμ μ μ²ö É μ± ³ μ ÉÓ ²μ Ò ± Ò μ² μ³ - ²Ó Ò³ ³ É ³ Ï Éμ μ μ Ö ± μé ± Ì μ μ²ó μ ² Ò. f б 5. Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ (Š) μ Ð ³ ²ÊÎ ÉμÎ μ ÉÓ μ± ³ Í ² ±μ ÉÓ ±² ± ³ - Éμ S n S n+, n =,N S, ʲ ÊÕÉ Ö ³ É ³ α β ( ² μ É ²Ö γ = β α), É ± ÖÉ μé ²μ μ É μ± ³ Ê ³μ ËÊ ±Í, Ò- μ Ê ²μ Ï. ² Ê É μé³ É ÉÓ, ÎÉμ Œ ÖÉμ É ÊÎ Éμ³ μ ±μ É Ê±Í Ëμ ³Ê² (9) μ Î É Ò μ ÉÓ ² ±μ ÉÓ μ É - ÉÓ μ μ Ö ±, ³μ É μé h. ÔÉμ³ ² ³μ ²Ó (2) ± ±μ³-éμ ³Ò ² μ³ É ±μ É Ê±Í Õ É μ²öí μ μ μ ² ÖÉμ É Ë ±Éμ 2 3 μ² Î ±μ É μ²öí [2]. μ ÉÓ μ Ê Ö Ê ²μ É μé Ò μ h T λ. ³³ ÓÏ h, É ³ μ²óï ˳ É Î ± Ì μ Í É Î É Ö ÒÎ ² d k. ˆÌ ³μ μ μ± É ÉÓ É Ê² μ ³ u i (k) v i (k), i=2, 5, k=, 2,...,k max, Ëμ ³Ê² Ì (9 ), k max Å ³ ± ³ ²Ó μ Î ²μ Ï μ h ³ ± ³ ²Ó- μ ² H. ɳ É ³, ÎÉμ É ±Éμ Ê ²μ ³μ μ μ²ó μ ÉÓ É ± ²Ö μ± ³ Í É μ²öí μ Ò³ ² ³. Ò μ ÉÓ ² ±μ ÉÓ ÉÒ±μ ± S n S n+ μ Î ÕÉ Ö Ê ²μ- Ö³ f (i) ( x n + h n ) f (i) ( x (n+) h (n+) ), i =,; n =,N S.ƒ² ±μ ÉÓ μ² Ò μ±μ μ μ Ö ± μ ³ μ μ³ μ ²Ö É Ö Ï μ³ μ ³ μ- (x) S n (x) Ê ² Ì ÉÒ±μ ± ʳ ÓÏ ÕÉ Ö, μ μ Ò ³ Éμ ² ÕÉ Ö ± μ μ Ò³ - μ± ³ Ê ³μ ËÊ ±Í ²Ö x [ x n h n, x n + h n ]. μ ÒÌ. ʳ ÓÏ Ï Ò Ò S n 9

³ Ì μ± Ò Ê²ÓÉ ÉÒ Š Ï Éμ μ μ Ö ± ËÊ ±Í, μ²ó Ê ³ÒÌ É É μ ³ Éμ μ É μ²öí μ ÒÌ ² ÕÐ Ì ² μ. ³ 4. μé [6] ± Î É É É ²Ö μí ± μ± ³ Í ²μ ÒÌ ËÊ ±Í - ² ³ Ò μ± Ì É ²μ ËÊ ±Í Ö ε(2 + ε) ϕ(x; ε) =, x [ π, π], ε >. (4) 2π( + ε cos x) ˆ μ²ó ÊÖ É ±Éμ Ê ²μ, ² ³ ϕ(x, ε)- ³ É Í Õ ²Ö ε =,2. Ê ±- Í Ö (4) ± μ ² Ó h =,4, x = 3,4 T λ =,65..4 Ò Ë ± λ k,n, n =, 7, μ Ê Ò É ±Éμ μ³ ( ), S n (x) S n (x) Ê ² ³ ÉÒ±μ ± ( ) Ë ± S n (x) ( ), n Å ± ³ É. ²Õ É Ö Ò μ ÉÓ ² ±μ ÉÓ μ μ μ μ, μîé ² - ± Ö Éμ Ö μ μ Ö Ò ³ Ê ² Ì (. 5, ). ƒ Ë ± μï μ± ε (i) n ²Ö ³ Éμ S n (x), S n(x) S n(x), i =,, 2, μ± Ò. 5, ε (i) n =log ϕ (i) (x;,2) D (i) 5 (x x n). Î ÉÒ ÒÌ ³ Ì ² Ó ÉμÎ μ ÉÓÕ μ ÖÉμ μ ±, μ μ Ò Ìμ ² Ó Î ² μ μ Ëμ ³Ê² ˆf νn =[f(x νn + ρ) f(x νn )]/ρ, ν = h,,h, ρ = 5. Î ÉÒ Ò É ².. μ± Ò ±μôëë Í ÉÒ ² ÏÓ x 3,x 4 x 5.,2,5 (; x ) 3 2 2 3 T a,4,3,2 S S, x 3 2 2 3 б 2 S 3 x 3 2 2 3. 4. ± μ ËÊ ±Í ϕ(x, ε) ( ). ²Ò ³ ÉÒ S n(x), S n(x) ( ) S n (x) ( ) в 4 6 8 3 2 2 3 a 2 4 6 8 3 2 2 3 б 2 4 6 8 в 3 2 2 3. 5. ƒ Ë ± ²μ Ë³μ ³μ ʲ μï μ± ε n, ε n ε n ²Ö ³ Éμ S n, S n S n

² Í. k h x + h d 3 d 4 d 5 6,659 Ä2,488,2278852,95548273,48956349 38,2587 Ä,229,27365274,26378754,5566324 294,23 Ä,28 Ä,7798676832 Ä,45466788 Ä,3238439375 24,8323,842,887897548 Ä,633788455 Ä,43862657 22,824,6283 Ä,8426952,3992685 Ä,47884727 86,7585 2,386 Ä,47734,82663875 Ä,37648384 38,567 2,948 Ä,34839266,23324895 Ä,632299 58,2337 3,4 Ä,3776495,7569848 Ä,37882789 ʳ ÓÏ ³ É ε =,5 ËÊ ±Í Ö ϕ(x; ε) É μ É Ö μ- ² É Ê μ ²Ö μ± ³ Í. ÔÉμ³ ²ÊÎ μ Ìμ ³μ ʳ ÓÏ ÉÓ Ï ²μ± ²Ó μ ɱ.. 6 Ò Ê²ÓÉ ÉÒ Š ϕ(x;,5), x [ 3,4, 3,4], Ö- ÉÓÕ ³ É ³ μ³ μ ɱ Ï μ³ h =,3. Í ± ± - É Î μ μ μé±²μ Ö (. ±. μ.), μ²êî Ö μ Ò μ ± 3 ÉμÎ ± ( μ 3 ÉμÎ ± ± μ³ ³ É ), μ É ² ˆσ εd =,3. ² ÊÕÐ ³ ³ ³ μ μî² Ò D 5 (x x ) T 5 (x x ) μ²ó μ- Ò ²Ö ³ É Í ± μ, ÖÉμ μ Ì μ É ± [], μ²ó Ê- ³μ ²Ö É É μ Ö ³ Éμ μ ² μ É³μ ² Ö Ö ÒÌ - ÒÌ (. 7, ): F (x, y) =,75 exp ( [(9x 2) 2 +(9y 2) 2 ]/4)+ +,75 exp [ (9x+) 2 /49 (9y +) 2 /]+,5 exp[ (9x 7) 2 +(9y 3) 2 ]/4,2 exp[ (9x 4) 2 (9y 7) 2 ], x,y [,25, ]. ³ 5. ± μ f(x) =F (x,,2), x [,5,,5] Ê ² Ì μ³ - μ ɱ Ï μ³ h =,5 Ë ± Ê ³ É Í ÉÓ ÉμÎ ± {f m = f(x m )} 3 m= S n а 2 S k б S k в,5 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3. 6. Š Ï Éμ μ μ Ö ± ÖÉ μé ± Ì μ³ Ò³ Ï μ³ h =,3

а Узлы 5 5 N 3,435 б 2 S в,5,25 y,25,25,25 x,5 S,5 D x 2 x. 7. ³ É μ Ì μ É F (x, y) ( ); S n = D 5n ε D ( ); S n = D 5n S n =[T 5] n (Éμα ) ( ) (. 7, ÌÊ, ² ). ÊÎ Éμ³ ÉÒ±μ μî ÒÌ Ê ²μ μ²êî ³ Ï ÉÓ ²μ± ²Ó- ÒÌ μ³ ÒÌ Éμ± x (n) h <x(n) <x (n) h, n =, 6. Î Ö d jn(h; f n, f n), j =, 5 (), μ ²Ö² Ó Ê ²μ ÖÌ [f (i) h ] n [f (i) h ] n+, n =, 5, i =,. ŠμÔËË Í ÉÒ ³μ ² S = T 5 (x x ) Ò f (i) (x (n) )/i!, i =, 5. Ë ± Ì S n =[T 5] n ( μ± Ò Éμα ³. 7, ) ²Õ ÕÉ Ö Ò Ò Ê ² Ì ÉÒ±μ ±. max ε T max ε D, É.. μ μ Ò μ ÖÉμ μ μ- Ö ± ±²ÕÎ É ²Ó μ, ±μ³ ÊÕÉ Ê ²μ ² ±μ É ±μ Í Ì ³ - Éμ h =,5. Œ-³μ ²Ó μ Î É ² ±μ ÉÓ S n S n (. 7, ), S n É É Ò Ò. Ê ² Î Î ² ³ Éμ ÉμÎ μ ÉÓ ± Î É μ - μ± ³ Í Ê²ÊÎÏ ÕÉ Ö. ƒ Éμ ³³ μï μ± ε D = f(x k ) D 5 (x k x (n) ), n =, 6, k =, 5 ( μ 3 ÉμÎ ±), μí ±. ±. μ. ˆσ =,435 (. 7, ). Í ± ³ ± ³ ²Ó ÒÌ μï μ± ε (i) max =max f (i) S n (i), i =, 3, S n = D 5 (x x (n) ), n =,N S, ²Öf(x) =F (x,,2), x [,5,,5], μ³ μ ɱ ² Î ÒÌ h Ò É ². 2. Œ ± ³ ²Ó Ò Î Ö μï μ± μ ÕÉ É ², μ μ Ö ËÊ ±Í Ò É μ ³ Ö É Ö (. 7, ). Ï h =,,,2,5 Ë ± Ì É Ì μ μ ÒÌ ³ Éμ Ò ²Ö ÖÉ ² ± ³. ² Í 2. N S h ε max ε max ε max ε max 5,6 3,34 4 3,6 2,29 3,3,3 5,65 7, 4 8,35 3 2,4 5,2,4 7 3,8 5 4,79 3 6,4 2,5 3,82 8,2 5,3 3 2,4 25,2,72 8 3,32 6 4,99 4 6,8 3 3, 6,84 9 7,33 7 6,68 4 9,95 2 2

6. Š ˆ Ÿ Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ ( Š) μé [8] Ò²μ μ± μ, ÎÉμ μ²ó μ Œ ²Ö ± - É Î μ μ± ³ Í ( ² Ö) μ ÒÏ É ÔËË ±É μ ÉÓ ² μ É³μ ² Ê Éμ Î μ É μ Ö ²μ μ É ÒÎ ². ²ÊÎ ² - Ö Ï Éμ μ μ Ö ± ³μ ²Ó ²μ± ²Ó μ μ ³ É É ²Ö É Ö ³ μ μ- β μ³ Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ Éμ S(x) w T f + Qw T r = w T f + b T r, (5) ±Éμ f Ë ± μ, r Å μ μ. É μ μí ± ˆf ŒŠμÍ ± ˆr μ ²Ö É Ö μ μ Ê Éμ Î μ μ μé μï Õ ± Ìμ Ò³ μï - ± ³ É Ëμ ³ μ μ ³μ ² ũ = b Tˆr, μ²êî μ ³μ Ë ± Í Ìμ - ÒÌ ÒÌ ũ = S w Tˆf. ʲÓÉ É ³ μ ÉÓ μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ μ± Ð É Ö É, ÎÉμ μ É ÒÎ ² É ²Ó ÊÕ ²μ μ ÉÓ. Ê ÉÓ ³ Ò μ ± μ Ñ ³ N{ S i = f(x i )+e i } N i=, x i [a, b], e i N(,σ). μμé É É Î ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ ² - Ö μ Ò³ Ò μ ± { S i } N i= É Ê É Ö É μí ±ÊŜ(x) f(x), x [a, b], μ K N ²μ± ²Ó ÒÌ ³ Éμ S k (x) = 5 d i (α k,β k ; f k, r k )(x x k ) i, x, x k [x αk,x βk ], Ê ²μ ÖÌ Ŝk (x β(k ) ) Ŝk(x αk ), k =,K. É ³ Ì ³μ ² (8) (5), ÒÌ x k,α k,β k Î μ É Ö ± ÒÎ ² Õ ŒŠ-μÍ μ± ˆf k ˆr k ±μôëë Í Éμ d (k) i (α k,β k ;ˆf k,ˆr k ) μ (9). 6.. ² μ ɳ Š. ² μ ɳ Š μ Éμ É ÖÉ ÔÉ μ. I. μé ± [a, b] K ³ Éμ [a, b] = K k= [x α k,x βk ] x β(k ) x αk ² { S i } N i= K ²μ± ²Ó ÒÌ Ò μ μ± { S i } N i= = K k= { S j k}n k j=, N k = N/K. II. ÒÎ ² Ì f k = [ f αk, f βk, f k ] T μ 2M + ² Ï ³ M Éμα ³ μ± É μ ÉÖÌ Ê ²μ x αk <x k <x βk : fνk = 2M+ S m k,ν = m= M α, β,, k =,K, M M max, μ Î ±² ± ³ Éμ Ŝk Ŝk Ê ²μ Ö³ f β(k ) f αk. III. μ μ ÒÌ S j k fk ũ k j : ũ k j = S j k wt f j k, j =,N k. IV. ÒÎ ² ˆr k Ê ²μ Ö N k j i= [ũ k j bt k (τ j)r k ] 2 min r k, τ j [α k,β k ]: ˆr k =[B T B] B T ũ k, ũ k =[ũ k, ũ k 2,...ũ k N k ] T, B T B Å μ ³ ²Ó Ö ³ - É Í ³ μ É 3 3. V. ÒÎ ² d k i (α k,β k ; f k,ˆr k ) μ Ëμ ³Ê² ³ (9)Ä(). 3

³ É ³, ÎÉμ μ²μ Éμα x k [x αk,x βk ] μ ²Ö É Î Ö - ³ É μ α k β k. ³ Î 3. μ μ Ìμ ÒÌ ÒÌ (II, III) Ê Î μ³ Ò- μ ³ É μ α k β k Ê Éμ Î μ ± μï ± ³ [8], μ²ó μ ÒÌ ËÊ ±Í b k = b(τ; α k,β k ) (2) ʳ ÓÏ É É ³ μ ÉÓ μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ, ÎÉμ É Ò ÒÏ ± ± μ Ê Éμ Î μ É ÒÎ ², É ± μ Î ²Ê ˳ É Î ± Ì μ Í μ Õ μ²ó μ ³ ³ É Í ³ μ- É 6 6. μ ±Ê ² μ ɳ ² ³ ± μ ³ 5 (. 7, ), É μ ± μ ²ÊÎ Ò³ ³Ò³ μï ± ³ e i N(,σ) ²Ö σ =,. ³ 6. μ Ó ³ ± ÊÕ f(x) =F (x,,2), x [,5,,725], ³Ó ÒÌ μ ² ³ Éμ ³ M =5. μí Ë μ ± h =, μ²êî ³ ³Ó ²μ± ²Ó ÒÌ Ò μ μ± { S i } 35 i= = 7 k= { S j k}5 j=. ʲÓÉ ÉÒ μ - μé± ÔÉ Ì ÒÌ μ ² μ É³Ê Š Ò. 8,, μ± Ò { S i k}5 {ũ k j }N k j= i= (I), f k (Ê Ò μ μ ³ Éμα ³) (II), ²μ± ²Ó Ò Ò μ ± (III) Éμ ³³ Ìμ ÒÌ μï μ±. Î ÉÒ μ IV V μ± Ò. 8,, ε k = f(x) Ŝk(x). Ò Ò Ë ± Ŝ (x) Ê ² Ì ÉÒ±μ ± μ± Ò ÕÉ, ÎÉμ - ± É Î Ö μ± ³ Í Ö ²μÌμ μ μ μ É μ μ Ò. ²Ö μ É - 2,42 а e,2 N 35,, f k,25,25 k S i f k f k u2 k,5 S k,, б,3,2,,5,5 S k k,2 5 2 25 3 5 2 25 3. 8. ² Ï Éμ μ μ Ö ± : IÄIII ( ) IV,V( ),3,2, Ошибки,5,, f i а Узлы,,5 2 2 S k S k,2, Остатки,, б u i 8,227 5 5. 9. ² Ï Éμ μ μ Ö ± N = 2, σ =,5: IÄIII ( ) IV,V( ) 4

² Í 3. k x<x β x d d d 2 d 3 d 4 d 5 Ä,975 Ä,2,482,2767,388 Ä5,6374 Ä,6268 72,932 2 Ä,525 Ä,75,743,52,686 Ä9,7873 Ä,454 3,6495 3 Ä,75 Ä,3,32546,8,4855 4,55 6,554 Ä38,24 4,375,5,9798,76484 Ä,656 Ä36,5489 59,93527 245,3499 5,825,6,37336,2223 5,53694 Ä2,846 Ä35,649 54,683 6,275,5,5 Ä,9426 2,6646 Ä2,86932 Ä2,22 78,9547 7,725,5,47,638 Ä,2658 Ä,693 5,93237 7,62483 μ ² Ö Ŝk(x) μ Ëμ ³Ê² ³ (8) μ²êî ³ ³ μ 5 Î ², ÎÉμ μμé É É Ê É μ² Î ³ ³ ± É μ³ê É Õ μ Ñ ³ Ìμ ÒÌ - ÒÌ. Ê Éμ Î μ É ² μ ɳ μ μé μï Õ ± μï ± ³ Ìμ ÒÌ ÒÌ (σ =,5, N = 2) ³μ μ Ê ÉÓ μ Ë ± ³. 9. ŠμÔËË Í É É Ö ÒÌ ÔÉμ³ ²ÊÎ 4. ² Ò Î - Ö ±μôëë Í Éμ Ê ²μ ²Ö ³ Éμ Ŝk(x k ), x (k ) <x k, k =, 7, Ò É ². 3. Š ˆ ³± Ì ³ Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ ²μ ³ Éμ ± ² μ É³Ò Ï Ö Î ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í ² Ö Ï - Éμ μ μ Ö ±. ³μ ² ²μ± ²Ó μ μ ³ É μ²ó ÊÕÉ Ö Î Ö f(x) f (x) É Ì Ê ² Ì, ±²ÕÎ Ö ÍÒ μ³ Êɱμ. ²Ö Œ ÖÉμ É μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ±μôëë Í Éμ d i,i =, 5, ²μ ËÊ ±Í μ É Ö³ x x μé ± [x + α, x + β], α<β, αβ <, ÖÐ μé ³ É μ α, β, f f Ê ² Ì ²μ± ²Ó μ ɱ, ±μéμ Ò μ Î ÕÉ Ê² ÊÕ μ Ï μ ÉÓ ²Ö ËÊ ±Í μ μ μ μ Í Ì - É ². μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò É ²ÖÕÉ ³μ ÉμÖÉ ²Ó Ò É. ˆÌ ³μ μ μ²ó μ ÉÓ ²Ö Ï Ö Ï μ±μ μ ± Ê ±É Î ± Ì Î É μ É Î ± Ì ² μ ÖÌ. μé ² μ ɳ Éμ³ É Î ±μ μ μ Ê Ö Ê ²μ, μ μ²öõð μ ²ÖÉÓ ÍÒ ³ É μ ɱ, ±μéμ μ μ ²Ö É Ö ²μ± ²Ó Ò ³ É. Šμ É Ê±Í Ö μ É Œ ³μ É μé Ï É± μ - Î ÕÉ Ò μ ÉÓ ÉÒ±μ ± ³ Éμ ² ±μ ÉÓ μ μ ÒÌ ²μÉÓ μ É ÉÓ μ μ Ö ±. ² Ò Î ÉÒ μ É ÉμÎ μ É Ê ÒÌ É É Ì μ- ± ² Ò μ±êõ ÔËË ±É μ ÉÓ ³μ ² ² Ê Éμ Î μ É ÒÎ ², ÉμÎ μ É ² ±μ É μ± ³ Í. Ëμ ³Ê²Ò ²Ö Î Éμ μ ÉÒ. ²μ ˳ É Î ± Ì μ Í Ì ³μ μ μ± É ÉÓ É Ê² μ ³ ³ μ É ² u i v i ÒÎ - ² d i,i=, 5. 5

Éμ Î μ ÉÓ ± μï ± ³ μ μ Ö Ìμ ÒÌ ÒÌ ² μ ɳ Š ʳ ÓÏ É ³ μ ÉÓ μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ É, ÎÉμ μ μ²ö É ±μ²ó±μ μ± É ÉÓ ÒÎ ² É ²Ó ÊÕ ²μ μ ÉÓ Éμ²Ó±μ μ Í ÖÌ μ ³ ²Ó μ ³ É Í. μ²óïμ Î ²μ ˳ É Î ± Ì μ Í Ô±μ μ³ É Ö Î É μ Ö ³ ± ³ ²Ó μ μ μ Ö ± μ μ ÒÌ, μ²ó Ê ³ÒÌ ÒÎ ² ±μôëë Í Éμ. ²μ Ò ² μ É³Ò Ö ²ÖÕÉ Ö ÔËË ±É Ò³ ³ É ³ É Î ± ³ - É Ê³ Éμ³ ²Ö Ï Ö Î μ± ³ Í ²μ ÒÌ ËÊ ±Í μ ²Ó ÒÌ ³μ É ËÊ ±Í, ÒÌ ³ ³ ± É ÒÌ ÉμÎ ±, ²Ö μ - μé± Ô± ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ, Î Ì Ë ²ÓÉ Í, μ³òï² μ³, ² μ ɳ Ì μ É ³ Í, Ï Î ³ Éμ ³ Î ÒÌ Ô² ³ Éμ É.. ˆ. ÒÏ.. ˆ Ò É Ê Ò. Œ.:, 955.. 64Ä648. 2. ²., ²Ó μ., μ²ï. μ Ö ² μ ²μ Ö. Œ.: Œ, 972.. 4. 3. ÓÖ²μ.., Š μ. ˆ., Œ μï Î ±μ.. Œ Éμ Ò ² -ËÊ ±Í. Œ.: ʱ, 98. 4. Š ² ɱ.. ² Ò ³ Éμ Ò. Œ.: ³ ɲ É, 978. 5. μ Š. ±É Î ±μ ʱμ μ É μ μ ² ³:. ². Œ.: μ Ö Ó, 985. 6. Š ² ɱ.., ²ÖÌμ ˆ. Œ. - ² Ò Ò μ± Ì É // Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ. 999.., º.. 64Ä74. 7. Dikoussar N. D. Function Parameterization by Using 4-Point Transforms // Comput. Phys. Commun. 997. V. 99. P. 235Ä254. 8. ±Ê.. Œ Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ // Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ. 2. T. 22, º 2.. 5Ä36. 9. ±Ê.., μ μ±. Éμ³ É Î ± μ ± Ê ²μ ²Ö ±Ê μî μ-±ê Î ±μ μ± ³ Í // Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ. 26. T. 8, º 3.. 23Ä4.. Franke R. Scattered Data Interpolation: Tests of Some Methods // Mathematics of Computation. 982. V. 38. P. 8Ä2. μ²êî μ 25 Õ²Ö 22.

±Éμ.. μ μ Î ÉÓ 8..22. μ ³ É 6 9/6. ʳ μë É Ö. Î ÉÓ μë É Ö. ². Î. ².,9. Î.-. ².,43. 245 Ô±. ± º 57795. ˆ É ²Ó ± μé ² Ñ μ μ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ 498,. Ê, Œμ ±μ ± Ö μ ²., ʲ. μ² μ-šõ, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/